Cách Chứng Minh 2 Mặt Phẳng Vuông Góc, Phương Pháp Chứng Minh Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
Cách chứng minh hai khía cạnh phẳng vuông góc nhanh – bài xích tập có đáp án
Phương pháp chứng tỏ hai mặt phẳng vuông góc cùng với nhau
Để chứng minh hai khía cạnh phẳng (P) và (Q) vuông góc cùng nhau ta sẽ triệu chứng minh
+ Một mặt đường thẳng d nằm trong khía cạnh phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại, một con đường thằng nào đó phía trong mặt phẳng (Q) và vuông góc với mặt phẳng (P). Bạn đang xem: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
+ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90°.
Bài tập chứng tỏ hai khía cạnh phảng vuông có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có lòng là tam giác ABC vuông tại B và $SAot (ABC).$ a) minh chứng $(SBC)ot (SAB)$ b) Gọi AH và AK lần lượt là mặt đường cao vào tam giác SAB và SAC. Chứng minh $(SBC)ot (AKH).$ c) gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh $(SAD)ot (SAC)$ |
a) vày $SAot (ABC)Rightarrow SAot BC$
Tam giác ABC vuông tại B nên $ABot BC$
Do đó $BCot (SAB)Rightarrow (SBC)ot (SAB)$
b) Ta có: $BCot (SAB)Rightarrow BCot AH$
Mặt khác $AHot SCRightarrow AHot (SBC)Rightarrow (AHK)ot (SBC)$
c) Ta có: $AHot (SBC)Rightarrow AHot SC$
Mặt khác $AKot SCRightarrow SCot (AHK)$ xuất xắc $SCot (AKD)$
Suy ra $ADot SC$ nhưng mà $SAot ADRightarrow ADot (SAC)$
Do vậy $(SAD)ot (SAC)$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác BCD vẽ những đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong phương diện phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực trung tâm của tam giác ACD. a) minh chứng mặt phẳng (ADC) vuông góc với khía cạnh phẳng (ABE) và phương diện phẳng (ADC) vuông góc với phương diện phẳng (DFK) b) chứng tỏ OH vuông góc với mặt phẳng (ACD) |
a) Ta có: $left{ eginarray BEot CD \ ABot CD \ endarray ight.Rightarrow CDot (ABE)$
mà $CDsubset left( ADC ight)Rightarrow left( ADC ight)ot left( ABE ight)$
Lại có: $left{ eginarray DFot BC \ DFot AB \ endarray ight.Rightarrow DFot (ABC)Rightarrow DFot AC$
Mặt khác $DKot ACRightarrow ACot (DKF)Rightarrow (ACD)ot (DFK)$
b) bởi $CDot (ABE)Rightarrow CDot AE$
Ta có : $left{ eginarray (ACD)ot (ABE) \ (ACD)ot (DFK) \ OH=(ABE)cap (DFK) \ endarray ight.Rightarrow OHot (ACD)$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và BD = a. Biết cạnh $SA=fracasqrt62$và vuông góc với khía cạnh phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: a) $(SAC)ot (SBD)$ b) $(SCD)ot (SBC)$ |
a) vì $SAot (ABCD)Rightarrow SAot BD$
Mặt khác ABCD là hình thoi nên $ACot BD$
Do kia $BDot (SAC)Rightarrow (SBD)ot (SAC)$
b) Dựng $OHot SC$
Do $BDot (SAC)Rightarrow BDot SC$
Suy ra $SCot (DHB)$
Như vậy $widehatDHB$là góc thân hai khía cạnh phẳng (SCD) và (SBC)
Tam giác ABD đều cạnh a nên $AO=fracasqrt32Rightarrow AC=asqrt3$
Dựng $AKot SCRightarrow AK=fracSA.OCsqrtSA^2+OC^2=aRightarrow OH=fracAK2=fraca2$
Tam giác DHB có mặt đường trung tuyến$HO=frac12BD=fraca2Rightarrow Delta DHB$ vuông tại H hay $widehatDHB=90^circ $
Do kia $(SCD)ot (SBC)$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a, $AD=asqrt2$, SA = a và $SAot (ABCD)$. Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của BM và AC. Chứng tỏ rằng $(SAC)ot (SMB)$ |
Lời giải bỏ ra tiết
Ta có: $ an widehatCAD=fracCDAD=fracaasqrt2=frac1sqrt2$
Mặt khác $ an widehatAMB=fracABAM=fracafracasqrt22=sqrt2$
Do $ an widehatCAD=cot widehatAMBRightarrow widehatCAD+widehatAMB=90^circ $
Suy ra $widehatAIM=90^circ Rightarrow ACot BM$tại I
Mặt khác $SAot (ABCD)Rightarrow SAot BM$
Do đó $BMot (SAC)Rightarrow (SMB)ot (SAC)$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Biết $SA=SB=asqrt2$ a) chứng minh rằng $SHot left( ABCD ight)$ b) minh chứng tam giác SBC vuông. c) chứng minh $(SAD)ot (SAB);(SAD)ot (SBC).$ |
a) bởi vì ∆SAB cân tại S nên con đường trung tuyến đồng thời là con đường cao suy ra $SHot AB$
Mặt khác $left{ eginarray (SAB)ot (ABCD) \ AB=(SAB)ot (ABCD) \ endarray ight.Rightarrow SHot (ABCD)$
b) bởi vì $SHot (ABCD)Rightarrow SHot BC$
Mặt không giống $BCot ABRightarrow BCot (SAB)Rightarrow Delta SBC$vuông tại B.
c) tương tự như câu b ta chứng tỏ được $ADot (SAB)$ suy ra $(SAD)ot (SAB)$
Mặt khác $SA^2+SB^2=AB^2=4a^2Rightarrow Delta SAB$vuông trên S $Rightarrow SAot SB$
Lại có: $ADot (SAB)Rightarrow ADot SBRightarrow SBot (SAD)Rightarrow (SBC)ot (SAD)$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Khía cạnh bên SAD là tam giác cân nặng tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc cùng với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. a) chứng minh $(SAD)ot (SAB)$ b) chứng minh $AMot BP$ và $(SBP)ot (AMN)$ |
a) Gọi H là trung điểm của AD
Do ∆SAD cân tại S nên đường trung con đường đồng thời là đường cao suy ra $SHot AD$
Mặt khác $left{ eginarray (SAD)ot (ABCD) \ AD=(SAD)ot (ABCD) \ endarray ight.Rightarrow SHot (ABCD)$
Khi đó $left{ eginarray SHot AB \ ABot AD \ endarray ight.Rightarrow ABot (SAD)Rightarrow (SAB)ot (SAD)$
b) Ta có: $left{ eginarray MN//SC \ AN//HC \ endarray ight.Rightarrow (AMN)//(SHC)$
Dễ thấy $tanwidehatBPC=2; an widehatHCD=frac12Rightarrow widehatBPC+widehatHCD=90^circ Rightarrow HCot BP$
Mặt không giống $SHot BPRightarrow BPot (SHC)$
Mà $(AMN)//(SHC)Rightarrow BPot (AMN)Rightarrow left{ eginarray (SBP)ot (AMN) \ BPot AM \ endarray ight.$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $SAot (ABCD)$ a) chứng minh $(SAC)ot (SBD)$ b) minh chứng $(SAD)ot (SCD)$ c) Gọi BE và DF là mặt đường cao trong tam giác SBD. Chứng tỏ rằng $(ACF)ot (SBC);(AEF)ot (SAC)$ |
a) Ta có: ABCD là hình vuông nên $ACot BD$
Mặt khác $SAot (ABCD)Rightarrow SAot BD$
Do kia $BDot (SAC)Rightarrow (SBD)ot (SAC)$
b) Ta có : $left{ eginarray ADot AB \ ADot SA \ endarray ight.Rightarrow ADot (SAB)$
Do kia $(SAD)ot (SAB)$
c) Ta có : $ADot (SAB)Rightarrow ADot SB$
Mặt không giống $DFot SBRightarrow (ADF)ot SBRightarrow AFot SB$
Lại có : $left{ eginarray BCot AB \ BCot SA \ endarray ight.Rightarrow BCot (SAB)Rightarrow BCot AF$
Do kia $AFot (SBC)Rightarrow (ACF)ot (SBC)$
Dễ thấy tam giác SBD cân trên S bao gồm 2 mặt đường cao BE và DF nên EF//BD
Mặt không giống $BDot (SAC)$(Chứng minh làm việc câu a) suy ra $EFot (SAC)Rightarrow ( extAEF)ot (SAC)$
Cách khác: Ta gồm $AFot (SBC)Rightarrow AFot SC$
Chứng minh tương tự ta cũng có: $AEot SC$ suy ra $SCot (AEF)Rightarrow (SAC)ot (AEF)$
| Bài tập 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC). a) chứng minh $(ABB")ot (ACC")$ b) Gọi AH, AK là các đường cao của ∆ABC và ∆AB’C’. Chứng minh (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK). |
a) Ta có: $CC"ot (ABC)Rightarrow CC"ot AB$
Mặt không giống $ABot ACRightarrow ABot (ACC")Rightarrow (ABB")ot (ACC")$
b) bởi vì $AHot BC,BB"ot (ABC)Rightarrow BB"ot AH$
Suy ra $AHot (BCC"B")Rightarrow (AHK)ot (BCC"B")$
Mặt khác $AHot (BCC"B")Rightarrow AHot B"C"$
Lại có: $AKot B"C"Rightarrow B"C"ot (AHK)Rightarrow (AHK)ot (AB"C")$
| Bài tập 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a; BC = $asqrt3$, cạnh bên CC’ = 2a. Điểm M là trung điểm của cạnh AA’. a) minh chứng $(ABB"A")ot (BCC"B")$ với $BMot C"M$ b) Tính cosin góc giữa mặt phẳng (BMC’) và mặt đáy (ABC) |
a) Ta có: ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng phải $BB"ot AB$
Mặt khác ∆ABC là tam giác vuông tại B nên $ABot BC$
Do đó $ABot (BCC"B")Rightarrow (ABB"A")ot (BCC"B")$
$eginarray BM=sqrtAB^2+AM^2=asqrt2;BC"=sqrtBC^2+CC"^2=asqrt7; \ C"M=sqrtA"C"^2+A"M^2=asqrt5 \ endarray$
Do $C"M^2+MB^2=BC"^2Rightarrow Delta BMC"$ vuông tại M hay $BMot C"M$
b) diện tích tam giác ABC là $S_ABC=fraca^2sqrt32$
Diện tích tam giác MBC’: $S_MBC"=frac12MB.MC"=fracasqrt102$
Gọi φ là góc giữa mặt phẳng (BMC’) và khía cạnh đáy (ABC)
Do ∆ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác MB’C’ trên khía cạnh phẳng (ABC) nên:
$S_ABC=S_MBC"cosvarphi Rightarrow cosvarphi =fracS_ABCS_MBC"=sqrtfrac310$
Thường học sinh than phiền khó minh chứng được dạng toán gồm hai khía cạnh phẳng vuông góc cùng với nhau. Hỏi ra new biết rằng chúng ta đó không đọc kĩ lý thuyết, không ngần ngừ vận dụng kim chỉ nan vào các bài tập ráng thể. Bài viết này để giúp bạn khối hệ thống lại đông đảo điểm căn bạn dạng cần nhớ.
Xem thêm: Top 5 app kiếm tiền trung quốc uy tín, nhanh, mới nhất 2023, app kiếm tiền trung quốc là gì
1. Lý thuyết chứng tỏ 2 phương diện phẳng vuông góc
Giả sử gồm hai khía cạnh phẳng (P), (Q). Để chứng minh hai mặt phẳng này vuông góc với nhau ta có 2 cách
Cách 1. Tính được ra góc của nhì mặt phẳng bằng 900: ($widehat (P),(Q)$) = 900.Cách 2: điện thoại tư vấn d là một trong những đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). Ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với mặt phẳng (Q): d ⊥ (Q)2. Bài tập tất cả lời giải
Bài tập 1. Mang lại hình lăng trụ MNPQ.M’N’P’Q’. Hình chiếu vuông góc của M’ lên (MNP) trùng cùng với trực tập H của tam giác MNP. Xác định nào tiếp sau đây không đúng?
A. NN’P’P là hình chữ nhật.
B. (MM’H) ⊥ (M’N’P’).
C. (NN’P’P) ⊥ (MM’H)
D. (MM’N’N) ⊥ (NN’P’P)
Hướng dẫn giải
Từ hình mẫu vẽ NP ⊥ (M’MH) đề xuất NP ⊥ NN’
Nếu như (MM’N’N) ⊥ (NN’P’P) thì NP ⊥ MN ( vô lý ) vì H trùng cùng với A.
Vậy là xác minh D là không nên => Chọn giải đáp D
Bài tập 2. đến hình chóp S.ABC tất cả hai mặt bên (SBC) với (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đó là sai?
A. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK ⊥ (SAC)
B. SC ⊥ (ABC)
C. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A’ ∈ SB.
D. (SAC) ⊥ (ABC).
Hướng dẫn giải
Ta có: $left{ eginarrayl left( SAC ight) cap (SBC) = SC\ left( SAC ight) ot left( ABC ight)\ left( SBC ight) ot left( ABC ight) endarray ight. Rightarrow SC ot left( ABC ight)$
Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC), khi đó AA’⊥ (SBC) => AA’ ⊥ BC => A’ ∈ BC
Suy ra lời giải B sai
Bài tập 3. Cho hình vỏ hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Xác định nào tiếp sau đây không đúng?
A. Hình hộp gồm 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
B. Nhị mặt (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc nhau.
C. Mãi sau điểm O biện pháp đều tám đỉnh của hình hộp.
D. Hình hộp tất cả 4 đường chéo cánh bằng nhau với đồng qui tại trung điểm của từng đường.
Hướng dẫn giải
Ta có: ABCD là hình chữ nhật đề xuất AC không vuông góc cùng với BD Suy ra nhị mặt (ACC’A’) với (BDD’B’) không vuông góc cùng với nhau.
Vậy đáp án B sai.
Hy vọng vời bài viết này sẽ giúp bạn giải được không ít bài tập minh chứng 2 khía cạnh phẳng vuông góc ở lớp 11. Còn thắc mắc chúng ta cứ giữ lại câu hỏi bên dưới để windchimewalker.net đáp án cho.
